Question

在直角坐標系中，設矩形OPQR的頂點按逆時針順序依次為O（0，0）、P（1，t）、Q（1-2t，2+t）、R（-2t，2），
其中t∈（0，+∞）．
（1）求矩形OPQR在第一象限部分的面積S（t）；
（2）確定函數S（t）的單調區間，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）要求矩形OPQR在第一象限部分的面積S（t），必須考查各頂點的可能位置．由于t為正數，O是坐標原點，顯然點P在第一象限，點R在第二象限，但點Q的橫坐標1-2t可正、可零、可負，即Q點可能在第一象限或在y軸上或在第二象限，需分類求解．
（2）由（1）知t的不同取值知S（t）有不同的表達式，因此要就不同的表達式來確定函數S（t）的單調區間．

解答：解：（1）當1-2t＞0即0＜t＜

1

2

時，0＜t＜

1

2

時，點Q在第一象限，如圖（1），
直線RQ的方程為y=t（x+2t）+2，它與y軸的交點T（0，2+2t²），
故△ORT的面積S=

1

2

×2t×（2+2t²）=2t×（1+t²）
可得矩形在第一象限內的部分面積為S（t）=2+2t²-2t×（1+t²）=2[1-t×（1+t+t²）]
當-2t+1≤0，即t≥

1

2

時，如圖（2），點Q在y軸上或第二象限，S（t）為△OPT的面積，
直線PQ的方程為y=-

x

t

+t+

1

t

，
令x=0得y=t+

1

t

，故點T的坐標為（0，t+

1

t

），
故S（t）=S_△OPT=

1

2

×(t+

1

t

) ×1=

1

2

×(t+

1

t

)
綜上知S（t）=

2[1-t×(1+t+t 2)]   0＜t＜ 1 2 1 2 ×(t+ 1 t )           t≥ 1 2

（2）S（t）在區間（0，

1

2

）與（

1

2

，1）上是減函數，在（1，+∞）是增函數，證明如下
下用導數法證明：
由于S'（t）=

-2-4t-6t2   0＜t＜ 1 2 1 2 (1- 1 t2 )    t≥ 1 2

驗證知當在區間（0，

1

2

）與（

1

2

，1）上S'（t）＜0，在（1，+∞）上S'（t）＞0
故得S（t）在區間（0，

1

2

）與（

1

2

，1）上是減函數，在（1，+∞）是增函數

點評：本題考點是函數的單調性與單調區間，考查根據實際問題建立函數關系式，借用函數的單調性研究實際問題的變化情況，本題是借助函數的變化研究圖形面積的變化，本題體現了數形結合的思想及轉化的思想，根據題意選擇合適的函數模型來研究幾何問題是一種常見的思路．