Question

已知f（x）是定義在R上，且周期為2的偶函數，當0≤x≤1時，f（x）=x²．若直線y=x+a與曲線y=f（x）恰有兩個公共點，那么實數a的值為（　　）（k∈z）

• A．k
• B．2k
• C．2k或2k-

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  4

• D．k或k-

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  4

Answer 1

分析：利用函數是周期為2的偶函數，作出函數y=f（x）的圖象，利用直線y=x+a與曲線y=f（x）恰有兩個公共點，利用數形結合的思想求a的值．

解答：解：因為f（x）是定義在R上且周期為2的偶函數，所以當-1≤x≤1時，f（x）=x²．
①由圖象可知當直線y=x+a經過點O（0，0）時，直線y=x+a與y=f（x）恰有兩個公共點，此時a=0，由于函數f（x）是周期為2的函數，所以當a=2k時，直線y=x+a與曲線y=f（x）恰有兩個公共點．
②由圖象可知直線y=x+a與f（x）=x²相切時，直線y=x+a與曲線y=f（x）也恰有兩個公共點．
f'（x）=2x，由f'（x）=2x=1，解得x=

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2

，所以y=

1

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，即切點為（

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2

，

1

4

），代入直線y=x+a得a=-

1

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．
由于函數f（x）是周期為2的函數，所以當a=2k-

1

4

時，直線y=x+a與曲線y=f（x）恰有兩個公共點．
綜上滿足條件的實數a的值為a=2k或a=2k-

1

4

．
故選C．

點評：本題考查了兩個曲線的交點問題，要充分利用函數的周期性，利用數形結合的思想去解決，綜合性較強．