Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的圖象與x軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為

π

2

，且圖象上一個最低點為M（

2π

3

，-2）．
（1）求f（x）的解析式；     
（2）用“五點法”畫出函數f（x）的簡圖；
（3）求f（x）的單調增區間；  
（4）求f（x）的對稱軸方程、對稱點坐標．

Answer 1

分析：（1）直接求出函數的周期T，A以及ω，通過函數經過的特殊點求出φ，得到函數的解析式；
（2）根據函數的解析式，通過列表，描點，連線畫出函數的圖象．
（3）利用正弦函數的單調增區間，求出f（x）的單調增區間；
（4）根據正弦函數的對稱軸方程，求出函數的對稱軸方程，利用正弦函數的對稱中心求出函數的對稱中心坐標即可．

解答：解：（1）由題意可知，T=

π

2

×2=π，A=2，ω=

2π

T

=2，
∵2sin(2•

2π

3

+φ) =-2，∴φ=

π

6

+2kπ，k∈Z，∵0＜φ＜

π

2

∴φ=

π

6

所以函數：f（x）=2sin（2x+

π

6

）．
（2）f（x）=2sin（2x+

π

6

）．
列表


（3）因為ysinx的單調增區間為：[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]k∈Z
所以f（x）=2sin（2x+

π

6

） 可得
-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ
解得  x∈[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]k∈Z
f（x）的單調增區間：[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]k∈Z
（5）函數f（x）=2sin（2x+

π

6

）．因為2x+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z所以函數的對稱軸方程為：x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z
因為2x+

π

6

=kπ，k∈Z所以函數的對稱中心坐標為：（

kπ

2

-

π

12

，0），k∈Z．

點評：本題是中檔題，考查三角函數的解析式的求法，五點法作圖，函數的單調性的應用，函數圖象的平移伸縮變換，函數的最值，可以說一題概括三角函數的基本知識的靈活應用，考查計算能力．