Question

【題目】如圖所示，曲線C由部分橢圓C1：＋＝1（a>b>0，y≥0）和部分拋物線C2：y＝－x2＋1（y≤0）連接而成，C1與C2的公共點為A，B，其中C1所在橢圓的離心率為．

（1）求a，b的值；

（2）過點B的直線l與C1，C2分別交于點P，Q（P，Q，A，B中任意兩點均不重合），若AP⊥AQ，求直線l

的方程．

Answer 1

【答案】（1），；（2）．

【解析】

試題（1）結合圖形在中，令，得，再聯立， 可得，，；（2）由題易得點，，由題知直線與軸不重合也不垂直，可設其方程為（），聯立的方程，整理得，解得點的坐標為，結合圖形知，再將代入的方程，得點的坐標為，再由，即得，求得方程．

試題解析：（1）在C2的方程中令y＝0可得b＝1，由＝及a2－c2＝b2＝1得a＝，∴a＝,b＝1．

（2）由（1）知，上半橢圓C1的方程為y2＋2x2＝2（y≥0）．易知，直線l與x軸不重合也不垂直，

設其方程為x=my+1 （m≠0），并將其代入C1的方程，

整理得（2m2＋1）＋4my＝0，故可解得點P的坐標為，顯然，m<0，

同理，將x=my+1 （m≠0）代入C2的方程,整理得m2y2＋y+2my＝0，得點Q的坐標為．

∵AP⊥AQ，∴=0，

即8m2 +2m＝0，解得m＝－，符合m<0，故直線l的方程為4x+y－4＝0．