Question

如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，底面為直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分別為PC、PB的中點.
（1）求證：PB⊥DM；
（2）求BD與平面ADMN所成的角.

Answer 1

（1）證明略（2）BD與平面ADMN所成的角為30°

（1） ∵N是PB的中點，PA=PB，

∴AN⊥PB.∵∠BAD=90°，∴AD⊥AB.
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD.
∵PA∩AB=A，∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥PB.              4分
又∵AD∩AN=A，∴PB⊥平面ADMN.
∵DM平面ADMN，∴PB⊥DM.                         7分
（2） 連接DN，
∵PB⊥平面ADMN，
∴∠BDN是BD與平面ADMN所成的角，                 10分
在Rt△BDN中，
sin∠BDN===，                            12分
∴∠BDN=30°,
即BD與平面ADMN所成的角為30°.                       14分