Question

已知A（-2，0），B（2，0）為橢圓C的左、右頂點，E（1，

3

2

）是C上的一點．F為C的右焦點．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過點A的直線l與橢圓C的另一個交點為P（不同于A、B），與橢圓在點B處的切線交于點D．當直線l繞點A轉動時，試判斷以BD為直徑的圓與直線PF的位置關系，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）假設橢圓的標準方程，利用A（-2，0），B（2，0）為橢圓C的左、右頂點，E（1，

3

2

）是C上的一點，即可求橢圓C的標準方程；
（2）先設出直線l的方程，根據題意，表示出D、E的坐標，從而求出以BD為直徑的圓的圓心和半徑，再將l的方程與橢圓方程聯立，得到交點A、P的坐標關系，因為A點的坐標已知，從而求出點P的坐標，然后分直線PF斜率存在和不存在兩種情況討論直線PF與以BD為直徑的圓的位置關系即可．

解答：解：（1）由題意，設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，則a=2
∴

x2

4

+

y2

b2

=1
∵E（1，

3

2

）是C上的一點
∴

1

4

+

9 4

b2

=1
∴b²=3
∴

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）以BD為直徑的圓與直線PF相切．
證明如下：由題意可設直線l的方程為y=k（x+2）（k≠0），
則點D坐標為（2，4k），BD中點E的坐標為（2，2k）．
將直線方程代入橢圓方程可得得（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0．
設點P的坐標為（x₀，y₀），則-2x₀=

16k2-12

3+4k2

∴x₀=

6-8k2

3+4k2

，y₀=k（x₀+2）=

12k

3+4k2

因為點F坐標為（1，0），
當k=±

1

2

時，點P的坐標為（1，±

3

2

）），點D的坐標為（2，±2），
直線PF⊥x軸，此時以BD為直徑的圓（x-2）²+（y?1）²=1與直線PF相切．
當k≠±

1

2

時，則直線PF的斜率k_PF=

y0

x0-1

=

4k

1-4k2

所以直線PF的方程為y=

4k

1-4k2

(x-1)，屬于點E到直線PF的距離d=2|k|
又因為|BD|=4|k|，所以d=

1

2

|BD|，所以以BD為直徑的圓與直線PF相切．
綜上得，當直線l繞點A轉動時，以BD為直徑的圓與直線PF相切．

點評：本題考查橢圓的性質及標準方程、考查直線與橢圓的位置關系及直線與圓的位置關系，考查方程思想、分類討論、數形結合等數學思想，同時考查了學生的基本運算能力與運算技巧．