Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E是棱BC的中點，點F 是棱CD上的動點．
（Ⅰ）試確定點F的位置，使得D₁E⊥平面AB₁F；
（Ⅱ）當D₁E⊥平面AB₁F時，求二面角C₁-EF-A的余弦值以及BA₁與面C₁EF所成的角的大小．

Answer 1

（I）由題意可得：以A為原點，分別以直線AB、AD、AA₁為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，不妨設正方體的棱長為1，且DF=x，則A₁（0，0，1），A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），B1(1，0，1)，D1(0，1，1)，E(1，

1

2

，0)，F(x，1，0)
所以

D1E

=(1，-

1

2

，-1)，

AB1

=(1，0，1)，

AF

=(x，1，0)
由D1E⊥面AB1F?

D1E

⊥

AB1

且

D1E

⊥

AF

，
所以

D1E • AB1 =0 D1E • AF =0

，可解得x=

1

2

所以當點F是CD的中點時，D₁E⊥平面AB₁F．
（II）當D₁E⊥平面AB₁F時，F是CD的中點，F(

1

2

，1，0)
由正方體的結構特征可得：平面AEF的一個法向量為

m

=(0，0，1)，
設平面C₁EF的一個法向量為

n

=（x，y，z），
在平面C₁EF中，

EC1

=(0，

1

2

，1)，

EF

=(-

1

2

，

1

2

，0)，
所以

EC1 • n =0 EF • n  =0

，即

y=-2z x=y

，
所以取平面C₁EF的一個法向量為

n

=(2，2，-1)，
所以cos＜

m

，

n

＞=-

1

3

，
所以＜

m

，

n

＞=π-arccos

1

3

，
又因為當把

m

，

n

都移向這個二面角內一點時，

m

背向平面AEF，而

n

指向平面C₁EF，
所以二面角C₁-EF-A的大小為π-arccos

1

3

又因為

BA1

=(-1，0，1)，
所以cos＜

BA1

，

n

＞=-

2

2

，
所以＜

BA1

，

n

＞=135?，
∴BA₁與平面C₁EF所成的角的大小為45°．