Question

如圖，在三棱拄中，側(cè)面，已知  

（1）求證：；

（2）試在棱(不包含端點(diǎn)上確定一點(diǎn)的位置,

使得；

(3) 在（2）的條件下,求二面角的平面角的正切值.

Answer 1

為的中點(diǎn)時(shí)，，

解析:

證（Ⅰ）因?yàn)?img width=40 height=17 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/58/403058.gif">側(cè)面，故

 在中，   由余弦定理有

  故有 

  而     且平面

     

（Ⅱ）由

從而  且 故

 不妨設(shè)  ，則，則

又  則

在中有   從而（舍負(fù)）

故為的中點(diǎn)時(shí)，

 法二：以為原點(diǎn)為軸，設(shè)，則       由得    即

      

  化簡整理得   ， 或

  當(dāng)時(shí)與重合不滿足題意

  當(dāng)時(shí)為的中點(diǎn)

     故為的中點(diǎn)使

 （Ⅲ）取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)

 連則，連則，連則

 連則，且為矩形，

又   故為所求二面角的平面角

在中，

法二：由已知， 所以二面角的平面角的大小為向量與的夾角

因?yàn)?img width=143 height=27 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/137/403137.gif">  

故