Question

【題目】由單位正方形組成的無限格陣的每個(gè)單位正方形內(nèi)都寫有一個(gè)整數(shù).若每個(gè)方格內(nèi)的整數(shù)等于其上方和左方與其相鄰的兩個(gè)方格內(nèi)的整數(shù)之和，且存在一行，其中，所有方格內(nèi)的數(shù)都是正整數(shù).記下面一行為，下面一行為，證明：對于每個(gè)正整數(shù)，上不能有個(gè)方格內(nèi)的整數(shù)都是0.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

為敘述方便，在格陣中任取一列稱為第0列，從第0列向左依次為第列，第列，從第0列向右依次為第1列，第2列，

記行的第列格內(nèi)的數(shù)為.

由題設(shè)知， ①

且. ②

記函數(shù).

首先證明一個(gè)引理.

引理：對確定的，可把整數(shù)集劃分成至多個(gè)區(qū)間，使得在這個(gè)區(qū)間內(nèi)分別單調(diào)，且在相鄰兩個(gè)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性不同.

證明：對用數(shù)學(xué)歸納法.

當(dāng)時(shí)，由式①，②知在上單調(diào)遞增.結(jié)論成立.

假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立。

現(xiàn)考慮的情形.

由歸納假設(shè)，可把劃分成至多個(gè)區(qū)間，使得在這個(gè)區(qū)間內(nèi)分別單調(diào)且在相鄰兩區(qū)間內(nèi)單調(diào)性不同.

依次考慮每個(gè)區(qū)間.

由于在每個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)，于是，或者可在區(qū)間中某兩個(gè)整數(shù)間插入一個(gè)“分隔符”，使得這個(gè)區(qū)間被分成兩個(gè)子區(qū)間，在每個(gè)子區(qū)間內(nèi)取值同號，而兩個(gè)子區(qū)間異號；或者在整個(gè)區(qū)間內(nèi)取值同號（此時(shí)不插入分隔符），這樣一共至多插入個(gè)分隔符，它們把劃分成個(gè)區(qū)間，在每個(gè)區(qū)間內(nèi)取值同號，在相鄰兩個(gè)區(qū)間內(nèi)取值異號.

由式①知，若在區(qū)間上取值同號，則在同一個(gè)區(qū)間上單調(diào)，且單調(diào)性與在上取值的符號有關(guān)（正則增，負(fù)則減）.

于是，當(dāng)，時(shí)，結(jié)論成立.

回到原題.

由引理，可把劃分成至多個(gè)區(qū)間，使得在這個(gè)區(qū)間內(nèi)分別單調(diào)，且在相鄰兩個(gè)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性不同.

而在任一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)至多一處取0，則至少有個(gè)根.再由的定義知，行上至多有個(gè)方格內(nèi)的整數(shù)是0.