Question

已知兩個二次函數(shù)：y=f（x）=ax²+bx+1與y=g（x）=a²x²+bx+1，函數(shù)y=g（x）圖象與x軸有兩個交點，其橫坐標分別為x₁，x₂（x₁＜x₂）．
（1）證明：y=f（x）在（-1，1）上是單調(diào)函數(shù)；
（2）當a＞1時，設(shè)x₃，x₄是方程ax²+bx+1=0的兩實根，且x₃＜x₄，當a＞1時，試判斷x₁，x₂，x₃，x₄的大小關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)y=g（x）圖象與x軸有兩個交點，得它的根的判別式△=b²-4a²＞0，再求y=f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），得
f′（-1）f′（1）＞0，說明一次函數(shù)f′（x）=2ax+b在區(qū)間（-1，1）的符號均為正數(shù)，或均為負數(shù)，得出結(jié)論；
（2）構(gòu)造兩個函數(shù)：F（x）=f（x）-1，G（x）=g（x）-1，通過討論它們的零點，得出它們的根之間的大小關(guān)系．然后通過分類討論和在同一坐標系里作出F（x）和G（x）的圖象，然后將兩個圖象向上平移一個單位，可得x₁，x₂，
x₃，x₄的大小關(guān)系，最后綜合可得出正確的大小關(guān)系．

解答：解：（1）對函數(shù)y=f（x）求導(dǎo)數(shù)，得f′（x）=2ax+b
所以f′（-1）f′（1）=（-2a+b）（2a+b）=b²-4a²
∵函數(shù)y=g（x）圖象與x軸有兩個交點
∴y=g（x）根的判別式△=b²-4a²＞0
因此，f′（-1）f′（1）＞0
一次函數(shù)f′（x）=2ax+b在區(qū)間（-1，1）的符號均為正數(shù)，或均為負數(shù)
由此可得：y=f（x）在（-1，1）上是單調(diào)函數(shù)；
（2）記函數(shù)F（x）=f（x）-1=ax²+bx，G（x）=g（x）-1=a²x²+bx
兩個函數(shù)有公共的零點x=0，此外F（x）還有一個零點x=-

b

a

，G（x）還有一個零點x=-

b

a2

，
①因為a＞1，當b＜0時由（1）得必定有0＜-

b

a2

＜ -

b

a

，
在同一坐標系里作出F（x）和G（x）的圖象：

將此兩個圖象都上移一個單位，可得函數(shù)f（x）和g（x）的圖象
所以由圖象可得x₁＜x₃＜x₂＜x₄
②當b＞0時，同理可得四個根的大小關(guān)系：x₁＜x₃＜x₂＜x₄
綜上所述，可判斷x₁，x₂，x₃，x₄的大小關(guān)系為：x₁＜x₃＜x₂＜x₄

點評：本題以一元二次方程的根的分布考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，所含字母參數(shù)較多，屬于難題．采用數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想解題，是本題解決的關(guān)鍵所在．