Question

（請考生在題22，23，24中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。）
（本小題滿分10分）如圖5，⊙O₁和⊙O₂公切線AD和BC相交于點D，A、B、C為切點，直線DO₁與⊙O₁與E、G兩點，直線DO₂交⊙O₂與F、H兩點。

（1）求證：～；
（2）若⊙O₁和⊙O₂的半徑之比為9：16，求的值。

Answer 1

（1）略（2）

（1）證明：∵AD是兩圓的公切線，
∴AD²=DE×DG，AD²=DF×DH,
∴DE×DG= DF×DH, ∴，
又∵∠EDF=∠HDG，∴△DEF∽△DHG。………………………4分
（2）連結O₁ A，O₂A，∵AD是兩圓的公切線，
∴O₁A⊥AD，O₂A⊥AD，
∴O₁O₂共線，
∵AD和BC是⊙O₁和⊙O₂公切線，DG平分∠ADB， DH平分∠ADC，
∴DG⊥DH，∴AD²= O₁A×O₂A，………………………8分
設⊙O₁和⊙O₂的半徑分別為9x和16x，則AD=12x，
∵AD²=DE×DG，AD²=DF×DH，
∴144x²=DE（DE+18x），144x²=DF（DF+32x）
∴DE=6x，DF=4x，∴。………………………10分