Question

已知正△ABC的頂點A在平面α上，頂點B、C在平面α的同一側，D為BC的中點，若△ABC在平面α上的投影是以A為直角頂點的三角形，則直線AD與平面α所成角的正弦值的范圍為

[

6

3

，

3

2

)

．

Answer 1

分析：根據題意，作圖，設正三角形的邊長為1，設出B，C到面的距離分別為a，b，，則DG的長度為兩者和的一半，通過解直角三角形用a，b表示出DG，得出sinα的表達式后，再根據條件，利用函數、不等式知識研究其最值．

解答：解：設正△ABC邊長為1，則線段AD=

3

2

設B，C到平面α距離分別為a=BE，b=CF，
則D到平面α距離為hDG=

a+b

2

射影三角形兩直角邊的平方分別為1-a²，1-b²，
設線段BC射影長為c，則1-a²+1-b²=c²，（1）
又線段AD射影長為

c

2

，
所以（

c

2

）²+

(a+b) 2

4

=AD²=

3

4

，（2）
由（1）（2）聯立解得 ab=

1

2

，
所以sinα=

h

AD

=

a+b

3

=

1

3

(a+

1

2a

)≥

2

3

a• 1 2a

=

2

3

=

6

3

，當a=b=

2

2

時等號成立．
此時BC與α平行．
令函數f（a）=a+

1

2a

，0＜a＜1，根據B，C關于D的對稱性，不妨研究

2

2

≤a＜1的情形．
由于函數f′（a）=1-

1

2

•

1

a2

=

a2-  1 2

a2

當

2

2

≤a＜1時，f′（a）＞0，
所以f（a）在（

2

2

1）上單調遞增，當a趨近于1時，f（a）趨近于1+

1

2

=

3

2

．，
sinα趨近于

1

3

•

3

2

 =

3

2

所以sinα的取值范圍為[

6

3

，

3

2

)
故答案為：[

6

3

，

3

2

)

點評：本題考查線面角的大小度量，考查空間想象、計算、推理論證能力．以及建立數學模型，解決數學模型的能力．