Question

已知直線過(guò)點(diǎn)P（6，4），且分別與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，求△AOB面積的最小值，并求此時(shí)直線方程．

Answer 1

分析：設(shè)l的斜率為k給出直線的點(diǎn)斜式方程，用參數(shù)k表示出下線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，表示出△AOB面積，判斷其最小值，求出此時(shí)的k值，代入即得直線的方程．

解答：解：設(shè)l的斜率為k，（k＜0）（1分）
則直線l的方程為y-4=k（x-6）（2分）
令x=0得y=4-6k，令y=0得x=-

4

k

+6（5分）
∴S△AOB=

1

2

(4-6k)(6-

4

k

)（8分）
=24+18(-k)+

8

-k

（10分）
=24+18[(-k)+

4 9

(-k)

]
令t=-k＞0，由基本不等式得(t+

4 9

t

)min≥

4

3

（當(dāng)且僅當(dāng)k=-

2

3

時(shí)取等號(hào)）（14分）
此時(shí)S_△AOB取到最小值為48．
可得l方程為y-4=-

2

3

（x-6）即：2x+3y-24=0（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線的一般式方程，考查用待定系數(shù)法設(shè)出直線的方程，根據(jù)已知的條件建立等式求參數(shù)，本題在判斷面積的最小值時(shí)由于出現(xiàn)了積國(guó)定值的形式，故采用了基本不等式求最小值時(shí)參數(shù)的取值，注意總結(jié)這一規(guī)律．