Question

雙曲線(a＞1,b＞0)的焦距為2c,直線l過點(a,0)和(0,b),且點(1,0)到直線l的距離與點(-1,0)到直線l的距離之和S≥c,求雙曲線的離心率e的取值范圍.

Answer 1

解:直線l的方程為,

即bx+ay-ab=0.

由點到直線的距離公式,且a＞1,得到點(1,0)到直線l的距離d₁=.

同理得到點(-1,0)到直線l的距離d₂=.

S=d₁+d₂=

由S≥c,得c,即5≥2c²,

于是得5≥2e²,即4e⁴-25e²+25≤0.

解不等式,得≤e²≤5,

由于e＞1,所以e的取值范圍是≤e≤.