Question

（2011•溫州二模）已知F₁、F₂是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）與橢圓

x2

9

+

y2

5

=1的共同焦點，若點P是兩曲線的一個交點，且△PF₁F₂為等腰三角形，則該雙曲線的漸近線方程是（　　）

• A．x±

  3

  y=0
• B．

  3

  x±y=0
• C．x±

  2

  y=0
• D．

  2

  x± y=0

Answer 1

分析：先利用雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）與橢圓

x2

9

+

y2

5

=1的共同焦點，求得a²+b²=4，再利用點P是兩曲線的一個交點，且△PF₁F₂為等腰三角形，求得交點坐標，從而可求雙曲線的標準方程，進而可求雙曲線的漸近線方程

解答：解：不妨設P是兩曲線在第一象限的交點，P（x，y）
由題意，橢圓

x2

9

+

y2

5

=1的焦點為（±2，0）
∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），與橢圓

x2

9

+

y2

5

=1的共同焦點
∴a²+b²=4①
∵點P是兩曲線的一個交點，且△PF₁F₂為等腰三角形
∴|PF₁|=|F₁F₂|=4
∵橢圓的左準線方程為：x=-

a2

c

=-

9

2

∴

4

x+ 9 2

=

2

3

∴x=

3

2

∵P在橢圓

x2

9

+

y2

5

=1上
∴y2=

15

4

∵P在雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1上
∴

9 4

a2

-

15 4

b2

=1②
由①②得：

9

4-b2

-

15

b2

=4
∴b²=3，a²=1
∴b=

3

，a=1
∴雙曲線方程為：x2-

y2

3

=1
∴雙曲線的漸近線方程是y=±

b

a

x=±

3

x
故選B．

點評：本題以橢圓為載體，考查橢圓與雙曲線的幾何性質，考查橢圓的定義的運用，屬于中檔題．