Question

曲邊梯形由曲線y=e^x，y=0，x=1，x=5所圍成，過曲線y=e^x，x∈[1，5]上一點P作切線，使得此切線從曲邊梯形上切出一個面積最大的普通梯形，這時點P的坐標是______．

Answer 1

設p點坐標為（m，e ^m），則切線的斜率為k=e^m
設切線方程：y=kx+b
把p點坐標代入直線方程可求的截距b=e^m-me^m＜0
切線方程為：y=e^mx+（1-m）e^m
那么切出來的梯形的面積為
S=

1

2

（|k+b|+|5k+b|）（5-1）=2（|2-m|+|6-m|）e ^m  1≤m≤5
①當1≤m≤2時，S=4（4-m）e ^m
②當2＜m≤5時，S=8e ^m
當1≤m≤2時，S=4（4-m）e ^m
求導得S'=4[（4-m）e^m-e ^m]=4（3-m）e ^m＞0 （1≤m≤2）
∴S=4（4-m）e ^m在[1，2]上單調增，且當m=2時有最大值Smax=8e²
當m＞2時，切線方程中令y=0，解得x=m-1＞1，無法構成梯形，
四條直線（y=0，x=1，x=5，過點P的切線）構成的兩個三角形
綜上所述，當m=2時，梯形面積有最大值8e ²，此時p點坐標為（2，e²）
故答案為（2，e²）