思路分析：因為f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36, …,所以f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.
證明：（1）當n=1時，f(1)=36,能被36整除；
（2）假設當n=k時，f(k)能被36整除，則當n=k+1時，f(k+1)=［2(k+1)+7］·3k+1+9
=3［(2k+7)·3k+9］+18(3k-1-1),
由歸納假設3［(2k+7)·3k+9］能被36整除，而3k-1-1是偶數，
所以18（3k-1-1）能被36整除，
所以f(k+1)能被36整除.
由（1）（2），得f(n)能被36整除，由于f(1)=36，故能整除f(n)的最大整數是36.
舉一反三期末百分沖刺卷系列答案科目：高中數學 來源：2010-2011年遼寧省瓦房店市高二4月月考數學理卷 題型：選擇題
已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然數m,使得對任意n∈N,都能使m整除f(n)，則最大的m的值為( )
A、30 B、 26 C、 36 D、 6
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科目：高中數學 來源：2013屆安徽省高二下學期期中考試理科數學試卷（解析版） 題型：解答題
已知f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然數m,使得對任意正整數n,都能使m整除f(n)，猜測出最大的m的值。并用數學歸納法證明你的猜測是正確的。
【解析】本試題主要考查了歸納猜想的運用，以及數學歸納法的證明。
∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36
∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除
然后證明n=1,2時，由上得證，設n=k(k≥2)時，
f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，則n=k+1時，
f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1?－(2k+7)·3k=(6k+27)·3k－(2k+7)·3k
=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k－2?(k≥2) 證明得到。解析 ∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36
∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除
證明 n=1,2時，由上得證，設n=k(k≥2)時，
f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，則n=k+1時，
f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1?－(2k+7)·3k=(6k+27)·3k－(2k+7)·3k
=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k－2?(k≥2) 
f(k+1)能被36整除
∵f(1)不能被大于36的數整除，∴所求最大的m值等于36
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