Question

【題目】已知, .

(1)當(dāng)時(shí)， 為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(2)設(shè)函數(shù)，若不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）作差，求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)非負(fù)恒成立轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，再分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問題；（2）作差構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)變換確定導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性和最值.

試題解析：（1）∵，∴.

∵時(shí)為增函數(shù)，∴對(duì)恒成立，即.

令, ,則，令解得.

∴在單減； 單增，∵，

，∴.

（2）∵對(duì)恒成立，令得，

令，則，

令，則 ，

令，則，

則在單增， 單減； ，故對(duì)恒成立.

∴在單減，∵，無(wú)論在有無(wú)零點(diǎn)，

在上的最小值只可能為或，

要恒成立，∴且 ，∴.

法二： ，即，令， ，

令得，∴在單增； 單減，

又∵有唯一零點(diǎn)，所以可作出函數(shù)的示意圖，

要滿足對(duì)恒成立，只需解得.