Question

設n＝2³¹?3¹⁹．n²有多少個小于n，但不能整除n的正整數因子？

Answer 1

解析：n²的因子必為2^α?3^β形，其中0≤α≤62，0≤β≤38．

于是(α，β)是屬于圖中矩形的格點，顯然對I、IV中的格點(α，β)，2^α．3^β不滿足要求(2^α?3^β|n或2^α?3^β≥n)，II中任一格點(約定β＝19或α＝31的點屬于I或IV，不屬于II或III)(α，β)，若2^α?3^β≥n，則對III中格點(62－α，31－β)，有2^62－α?3^31－β＜n．反之，對III中格點(α，β)，若2^α?3^β≥n，則對II中格點(62－α，31－β)，有2^62－α?3^31－β＜n．因此II、III中恰有一半的格點(α，β)，使2^α?3^β滿足要求．即所求的正整數因子個數為

19×31＝589