Question

已知兩個正實數x，y滿足x+y=4，則使不等式

1

x

+

4

y

≥m恒成立的實數m的取值范圍是（　　）

• A．[

  9

  4

  ，+∞)
• B．[2，+∞）
• C．（-∞，2]
• D．（-∞，

  9

  4

  ]

Answer 1

分析：將不等式恒成問題轉化為求

1

x

+

4

y

的最小值，利用“1”的代換的思想和基本不等式，即可求得

1

x

+

4

y

的最小值，從而求得實數m的取值范圍．

解答：解：∵不等式

1

x

+

4

y

≥m對兩個正實數x，y恒成立，即（

1

x

+

4

y

）_min≥m，
∵x+y=4，即

x

4

+

y

4

=1，
又∵x＞0，y＞0，
∴

1

x

+

4

y

=（

1

x

+

4

y

）（

x

4

+

y

4

）=

y

4x

+

x

y

+

5

4

≥2

y 4x • x y

+

5

4

=1+

5

4

=

9

4

，
當且僅當

y

4x

=

x

y

，即x=

4

3

，y=

8

3

時取“=”，
∴（

1

x

+

4

y

）_min=

9

4

，
∴m≤

9

4

，
∴實數m的取值范圍是（-∞，

9

4

]．
故選：D．

點評：本題考查了基本不等式在最值問題中的應用．在應用基本不等式求最值時要注意“一正、二定、三相等”的判斷．運用基本不等式解題的關鍵是尋找和為定值或者是積為定值，難點在于如何合理正確的構造出定值．涉及了不等式恒成立問題，對于不等式恒成立問題一般選用參變量分離法、最值法、數形結合法求解．屬于中檔題．