Question

如果直線y=kx+1與圓x²+y²+kx+my-4=0相交于M、N兩點(diǎn)，且點(diǎn)M、N關(guān)于直線x+y=0對稱，動(dòng)點(diǎn)P（a，b）在不等式組

kx-y+2≥0 kx-my≤0 y≥0

表示的平面區(qū)域的內(nèi)部及邊界上運(yùn)動(dòng)，則
（1）不等式組所確定的平面區(qū)域的面積為1；
（2）使得目標(biāo)函數(shù)z=b-a取得最大值的最優(yōu)解有且僅有一個(gè)；
（3）目標(biāo)函數(shù)ω=

b-2

a-1

的取值范圍是[-2，2]；
（4）目標(biāo)函數(shù)p=a²+b²-2b+1的最小值是

1

2

．
上述說法中正確的是

（1）（4）

（寫出所有正確選項(xiàng)）

Answer 1

分析：由M與N關(guān)于x+y=0對稱得到直線y=kx+1與x+y=0垂直，利用兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為-1，得到k的值；設(shè)出M與N的坐標(biāo)，然后聯(lián)立y=x+1與圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到兩橫坐標(biāo)之和的關(guān)于m的關(guān)系式，再根據(jù)MN的中點(diǎn)在x+y=0上得到兩橫坐標(biāo)之和等于-1，列出關(guān)于m的方程，求出方程的解得到m的值，把k的值和m的值代入不等式組，在數(shù)軸上畫出相應(yīng)的平面區(qū)域，求出面積及相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)的最值即得．如對于（3），先由條件求出k=1，m=-1，再畫出對應(yīng)的平面區(qū)域，把ω=

b-2

a-1

看成平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與（1，2）連線的斜率，利用圖形可得結(jié)論．

解答：解：∵M(jìn)、N兩點(diǎn)，關(guān)于直線x+y=0對稱，
∴k=1，又圓心(-

k

2

，-

m

2

)在直線x+y=0上
∴-

k

2

-

m

2

=0
∴m=-1
∴原不等式組變?yōu)?span id="y0ke0ke" class="MathJye">

x-y+2≥0 x+y≤0 y≥0

作出不等式組表示的平面區(qū)域，
（1）△AOB為不等式所表示的平面區(qū)域，
聯(lián)立

y=-x y=x+2

解得B（-1，1），A（-2，0），
所以S_△AOB=

1

2

×|-2|×|-1|=1．
故（1）正確；
（2）作出目標(biāo)函數(shù)z=b-a平行的直線，將其平移
當(dāng)直線z=b-a過直線x-y+2=0上的任一點(diǎn)時(shí)，z最大，
故（2）錯(cuò)；
（3）如圖
又因?yàn)?span id="ac0q2yc" class="MathJye">ω=

b-2

a-1

表示點(diǎn)P（a，b）與點(diǎn)（1，2）連線的斜率．
故當(dāng)過點(diǎn)B（-1，1）時(shí)，ω=

b-2

a-1

取最小值-

1

2

．
當(dāng)過O（0，0）時(shí)，ω=

b-2

a-1

取最大值2．
故答案為：[-

1

2

，2]．故（3）錯(cuò)；
（4）p=a²+b²-2b+1=a²+（b-1）²-表示區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)N到點(diǎn)M（0，1）的距離的平方，
由圖得：只有當(dāng)過M作直線x+y=0的垂線時(shí)，M（0，1）到平面區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的距離才最小．
而M與直線x+y=0的距離為：d=

|0+1|

12+12

=

1

2

．
∴|d|²=

1

2

．即目標(biāo)函數(shù)p=a²+b²-2b+1的最小值是

1

2

．
故（4）正確．
故答案為：（1），（4）．

點(diǎn)評(píng)：本題是簡單的線性規(guī)劃與直線和直線以及直線與圓的位置關(guān)系的一道綜合題，是對知識(shí)的綜合考查．利用直線斜率的幾何意義，求可行域中的點(diǎn)與（1，2）的斜率ω=

b-2

a-1

的取值范圍．