Question

如圖,已知底面是正方形且側棱垂直于底面的四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中,底面邊長為2,側棱長為4,E、F分別為棱AB、BC的中點.

(1)求證:平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁;

(2)求點D₁到平面B₁EF的距離.

Answer 1

(1)證明:建立如圖所示的空間直角坐標系,則D(0,0,0),B(2,2,0),E(2,,0),F(,2,0),D₁(0,0,4),B₁(2,2,4),

=(-,,0),=(2,2,0),=(0,0,4).

∴

∴EF⊥DB,EF⊥DD₁.∴EF⊥平面BDD₁B₁.

∴平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁.

(2)解:設平面B₁EF的法向量為n=(x,y,z),

則n⊥EF,n⊥EB₁.

又=(0,,4),

∴n·=-x+y=0,

n·=y+4z=0.

∴x=y,z=-y.

取y=1,得n=(1,1,-).

又,

∴點D₁到平面B₁EF的距離為