Question

(本題滿分12分）
設(shè)函數(shù)（，為常數(shù)），且方程有兩個(gè)實(shí)根為.
（1）求的解析式；
（2）證明：曲線的圖像是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，并求其對(duì)稱中心.

Answer 1

（Ⅰ）．（II）證明：見(jiàn)解析。

本題考查用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，函數(shù)圖象的平移．
（1） 把方程的2個(gè)實(shí)數(shù)根分別代入方程得到方程組，解此方程組求出待定系數(shù)，進(jìn)而得到函數(shù)的解析式．
（2）利用2個(gè)奇函數(shù)的和仍是奇函數(shù)，再利用圖象平移找出所求函數(shù)的對(duì)稱中心。
解：（Ⅰ）由解得
故．
（II）證明：已知函數(shù)，都是奇函數(shù)．
所以函數(shù)也是奇函數(shù)，其圖像是以原點(diǎn)為中心的中心對(duì)稱圖形．
而．
可知，函數(shù)的圖像沿軸方向向右平移1個(gè)單位，再沿軸方向向上平移1個(gè)單位,即得到函數(shù)的圖像，故函數(shù)的圖像是以點(diǎn)為中心的中心對(duì)稱圖形．