Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面是邊長為的正方形ABCD，AC與BD的交點為O，平面ABCD且，E是邊BC的中點，動點P在四棱錐表面上運動，并且總保持，則動點P的軌跡的周長為( )

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

分別取CD、SC的中點F、G，連接EF、FG和EG，證明平面EFG∥平面BDS，再由題意證明AC⊥平面EFG，得出點P在△EFG的三條邊上，求出△EFG的周長即可.

解：分別取CD、SC的中點F、G，連接EF、FG和EG，如圖所示；

則EF∥BD，EF平面BDS，BD 平面BDS

∴EF∥平面BDS

同理FG∥平面BDS

又EF∩FG＝F，EF 平面EFG，FG 平面EFG，，

∴平面EFG∥平面BDS，

由AC⊥BD，AC⊥SO，且AC∩SO＝O，

則AC⊥平面BDS，

∴AC⊥平面EFG，

∴點P在△EFG的三條邊上；

又EF＝BD＝××＝1，

FG＝EG＝SB＝×＝，

∴△EFG的周長為EF+2FG＝1+.

故選：D.