Question

定義：若一個數列中的每一項都是另一個數列中的項，則稱這個數列是另一個數列的子數列。已知是等差數列，是公比為的等比數列，，，記為數列的前項和．

（Ⅰ）若（是大于的正整數），求證：；

（Ⅱ）若（是某個正整數），求證：是整數，且數列是數列的子數列.

Answer 1

（1）設等差數列的公差為，則由題設得，，且．

由得，所以，

．

故等式成立．

（2）（ⅰ）證明為整數：

由得，即，

移項得．

因，，得，故為整數．

（ⅱ）證明數列中的每一項都是數列中的項：

設是數列中的任一項，只要討論的情形．

令，即，

得．

因，當時，，為或，則為或；

而，否則，矛盾．

當時，為正整數，所以為正整數，從而．

故數列中的每一項都是數列中的項．即數列是數列的子數列.