Question

（本題滿分16分）
設數列的前項和為，若對任意，都有.
⑴求數列的首項；
⑵求證：數列是等比數列，并求數列的通項公式；
⑶數列滿足，問是否存在，使得恒成立？如果存在，求出 的值，如果不存在，說明理由．

Answer 1

，

解：
⑴∵ ∴           ……………………………3分
⑵∵   ∴    (≥2)
∴             ………………………………5分
∴
∴(為常數) (≥2)
∴數列是以為公比的等比數列        …………………………………7分
∴                       …………………………………10分
⑶∵      ∴
∴     ………………………………12分
    ………………………………14分
∴當≥3時，＜1； 當=2時，＞1
∴當2時，有最大值 
∴                        …………………………………15分
∴                            …………………………………16分