Question

（2013•和平區二模）已知點A、B分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）長軸的左、右端點，點C是橢圓短軸的一個端點，且離心率e=

2

2

，S_△ABC=

2

．動直線，l：y=kx+m與橢圓于M、N兩點．
（I）求橢圓的方程；
（II）若橢圓上存在點P，滿足

OM

+

ON

=λ

OP

（O為坐標原點），求λ的取值范圍；
（III）在（II）的條件下，當λ取何值時，△MNO的面積最大，并求出這個最大值．

Answer 1

分析：（I）由離心率及三角形的面積聯立方程組，求出幾何量，即可求橢圓的方程；
（II）直線方程代入橢圓方程，分類討論，確定P的坐標，利用P在橢圓上，即可求λ的取值范圍；
（III）求出|MN|，點O到直線MN的距離，利用面積公式，結合基本不等式，即可求△MNO面積．

解答：解：（I）由題意，

a2+b2 a = 2 2 1 2 ×2a×b= 2

，∴a=

2

，b=1
∴橢圓的方程為

x2

2

+y2=1；
（II）y=kx+m代入橢圓方程整理可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
設點M、N的坐標分別為M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）、P（x₀，y₀），則
x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，x₁x₂=

2m2-2

1+2k2

∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=

2m

1+2k2

（1）當m=0時，點M、N關于原點對稱，則λ=0．
（2）當m≠0時，點M、N不關于原點對稱，則λ≠0，
∵

OM

+

ON

=λ

OP

，∴（x₁，y₁）+（x₂，y₂）=λ（x₀，y₀），
∴x₁+x₂=λx₀，y₁+y₂=λy₀，
∴x₀=-

4km

λ(1+2k2)

，y₀=

2m

λ(1+2k2)

∵P在橢圓上，
∴[

4km

λ(1+2k2)

]2+2[

2m

λ(1+2k2)

]2=2
化簡，得4m²（1+2k²）=λ²（1+2k²）²．
∵1+2k²≠0，
∴有4m²=λ²（1+2k²）．…①
又∵△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=8（1+2k²-m²），
∴由△＞0，得1+2k²＞m²．…②
將①、②兩式，∵m≠0，∴λ²＜4，
∴-2＜λ＜2且λ≠0．
綜合（1）、（2）兩種情況，得實數λ的取值范圍是-2＜λ＜2；
（III）由題意，|MN|=

1+k2

|x1-x2|，點O到直線MN的距離d=

|m|

1+k2

∴S_△MNO=

1

2

|MN|d=

1

2

|m||x1-x2|=

2 |m| 1+2k2-m2

1+2k2

由①得1+2k2=

4m2

λ2

，代入上式并化簡可得S_△MNO=

2

4

•

λ2(4-λ2)

∵

λ2(4-λ2)

≤

λ2+(4-λ2)

2

=2
∴S_△MNO≤

2

2

當且僅當λ²=4-λ²，即λ=±

2

時，等號成立
∴當λ=±

2

時，△MNO的面積最大，最大值為

2

2

．

點評：本題主要考查待定系數法求圓錐曲線的方程，要注意橢圓的三個參數的關系為：a²=b²+c²；求解直線與橢圓的位置關系問題，通常是聯立方程組，利用韋達定理求解．