Question

【題目】如圖，正三棱柱ABC A 1B1C1的側棱長和底面邊長均為2，D是BC 的中點．

（1） 求證：AD⊥平面B1BC C1；

（2） 求證：A 1B//平面ADC1；

（3） 求三棱錐C1 ADB1的體積．

Answer 1

【答案】（1）證明略．（2）證明略．（3）．

【解析】

試題分析：（1）利用線面垂直的性質，可得由正三角形的性質可得，根據線面垂直的判定定理即可證明平面；（2）連接，交于點，連接，利用為中位線，可得，利用線面的平行的判定定理，可證平面；（3）利用等體積，根據棱錐的體積公式可得結論.

試題解析：（1）證明：是正三棱柱，平面，

平面是正三角形，為中點，，

平面.

證明：連接，交于點，連接，由是正三棱柱，得四邊形為矩形，為的中點，又為中點，為中位線，平面平面，平面.

(3) .

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、線面垂直的判定定理、利用等積變換求三棱錐體積，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質，即兩平面平行，在其中一平面內的直線平行于另一平面. 本題（2）是就是利用方法①證明的.