Question

【題目】已知命題p：函數 在（﹣∞，+∞）上有極值，命題q：雙曲線 的離心率e∈（1，2）．若p∨q是真命題，p∧q是假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：命題p：f′（x）=3x2+2ax+a+ ，
∵函數f（x）在（﹣∞，+∞）上有極值，
∴f′（x）=0有兩個不等實數根，
∴△=4a2﹣4×3（a+ ）=4a2﹣4（3a+4）＞0，
解得a＞4或a＜﹣1；
命題q：雙曲線 的離心率e∈（1，2），為真命題，
則 ∈（1，2），解得0＜a＜15．
∵命題“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，
∴p與q必然一真一假，
則 或 ，
解得：a≥15或0＜a≤4或a＜﹣1
【解析】分別求出p，q為真時的a的范圍，由于命題“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，可得p與q必然一真一假．即可得出．
【考點精析】通過靈活運用復合命題的真假，掌握“或”、 “且”、 “非”的真值判斷:“非p”形式復合命題的真假與F的真假相反；“p且q”形式復合命題當P與q同為真時為真，其他情況時為假；“p或q”形式復合命題當p與q同為假時為假，其他情況時為真即可以解答此題．