Question

【題目】(本題滿分12分)已知一次函數f(x)滿足：f(1)=2, f(2x)=2f(x)-1.

(1) 求f(x)的解析式;

(2) 設, 若|g(x)|－af(x)＋a≥0，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) f(x)=x+1.

(2) a≤0.

【解析】分析：（1）待定系數法即可求得f(x)的解析式；

（2）分類討論、分離參數、數形結合都可以解決.

詳解：(1)設f(x)=kx+b，則

解得：k=b=1, 故f(x)=x+1.

(2) 由(1)得:g(x)＝|g(x)|－af(x)＋a≥0可化為|g(x)|≥ax.

∵|g(x)|＝∴由|g(x)|≥ax可分兩種情況：

(I)恒成立

若x＝0，不等式顯然成立；

若x<0時，不等式等價于x－2≤a.

∵x－2<－2，∴a≥－2.

(II)恒成立

方法一[分離參數]：可化為a≤在(0, ＋∞)上恒成立。

令h(x)=,則h′(x)= =

令t(x)=x－(x+1)ln(x+1), 則由t′(x)=-ln(x+1)<0知t(x)在(0, ＋∞)上單調遞減,

故t(x)<t(0)=0，于是h′(x)<0

從而h(x)在(0, ＋∞)上單調遞減

又當x>0時,恒有h(x)= >0

于是a≤0.

方法二[分類討論]：ln(x+1)≥axln(x+1)－ax≥0

令φ(x)= ln(x+1)－ax，則φ′(x)=－a=

當a≤0時, φ(x)在(0,＋∞)上單調遞增,故有φ(x)> φ(0)=0成立;

當0<a<1時, φ(x)在(0,－1)上單調遞增, 在(－1＋∞)是遞減.

取x=－1, 易知φ(－1)=-2lna+a－<0，故不合題意；

當a≥1時, φ(x)在(0,＋∞)上單調遞減，顯然不合題意。

所以a≤0.

方法三[數形結合]：

根據函數圖象可知a≤0.

綜合(1)(2)得－2≤a≤0.