Question

已知函數f(x)=sin(2x-

π

4

)，有如下四個命題：
①點(

5

8

π，0)是函數f（x）的一個中心對稱點；
②若函數f（x）表示某簡諧運動，則該簡諧運動的初相為-

π

4

；
③若x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂）=-1，則x₁-x₂=kπ（k∈Z且k≠0）；
④若f（x）的圖象向右平移φ（φ＞0）個單位后變為偶函數，則φ的最小值是

π

8

；
其中正確命題的序號是

①②③④

．

Answer 1

分析：根據正弦函數圖象的對稱中心，求得點(

5

8

π，0)是函數f（x）的一個中心對稱點，判斷①的正確性；
根據正弦函數的圖象，得到②正確；
根據函數y=Asin（ωx+φ）的最小正周期判定③是否正確；
根據正弦函數的圖象變換，求得故2φ+

π

4

=kπ+

π

2

（k∈N），判斷④是否正確．

解答：解：①當x=

5π

8

時，sin(2×

5π

8

-

π

4

)=0，故點(

5

8

π，0)是函數f(x)=sin(2x-

π

4

)的一個中心對稱點，故①正確；
②若函數f(x)=sin(2x-

π

4

)表示某簡諧運動，則該簡諧運動的初相為-

π

4

，故②正確；
③∵函數的最小正周期T=

2π

2

=π，
∴若x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂）=-1，則x₁-x₂=kπ（k∈Z且k≠0），故③正確；
④若f（x）的圖象向右平移φ（φ＞0）個單位后變為偶函數，
則y=sin[2(x-φ)-

π

4

]=sin(2x-2φ-

π

4

）為偶函數，
故2φ+

π

4

=kπ+

π

2

（k∈N），
則2φ=kπ+

π

4

，故φ=

kπ

2

+

π

8

（k∈N），
故φ的最小值是

π

8

，故④正確．
故答案為：①②③④

點評：本題借助考查命題的真假判定，考查y=Asin（ωx+φ）函數的性質．