Question

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD邊長為1，高AA₁=

2

，它的八個頂點都在同一球面上，那么球的半徑是

 

；A，B兩點的球面距離為

 

．

Answer 1

分析：已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD邊長為1，高AA₁=

2

，它的八個頂點都在同一球面上，那么，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的對角線長為球的直徑，中點O為球心．則易得球的半徑． 根據球面距離的定義，應先算出球面兩點對球心的張角，再乘以球的半徑即可．

解答：解：已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD邊長為1，高AA₁=

2

，它的八個頂點都在同一球面上，
那么，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的對角線長為球的直徑，中點O為球心．
正四棱柱對角線AC₁=2，
則球的半徑為1．
根據球面距離的定義，可得∠AOB=

π

3

；
則A，B兩點的球面距離為

π

3

•1=

π

3

．
那么球的半徑是 1；A，B兩點的球面距離為

π

3

．

點評：（1）涉及到多面體與球相關的“切”“接”問題時，關鍵是抓住球心的位置．球心是球的靈魂．
（2）根據球面距離的定義，應先算出球面兩點對球心的張角，再乘以球的半徑．這是通性通法．