Question

如圖，已知直線L：x=my+1過橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點F，且交橢圓C于A，B兩點，點A，F，B在直線G：x=a²上的射影依次為點D，K，E．
（1）若拋物線x²=4

3

y的焦點為橢圓C的上頂點，求橢圓C的方程；
（2）連接AE，BD，證明：當m變化時，直線AE、BD相交于一定點．

Answer 1

分析：（1）易知b=

3

，c=1，結合a²=b²+c²可求橢圓的方程
（2）要證當m變化時，直線AE、BD相交于一定點．先找m去特殊值（m=0）時AE與BD相交FK中點N(

1+a2

2

，0)故猜想：當m變化時，AE與BD相交于定點N(

1+a2

2

，0)然后只要證明AN，EN 的斜率相等，從而可得A、N、E三點共線同理可得B、N、D三點共線即可

解答：解：（1）易知b=

3

，c=1，a²=b²+c²=4
∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1（6分）
（2）∵F（1，0）
當m=0時，直線L⊥ox軸，則ABED為矩形，
由對稱性知，AE與BD相交FK中點N，且N(

1+a2

2

，0)
猜想：當m變化時，AE與BD相交于定點N(

1+a2

2

，0)（8分）
證明：設A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）E（a²，y₂）D（a²，y₁）
當m變化時首先AE過定點N

x=mu+1 b2x2+a2y2-a2b2=0

即（a²+b²m²）y²+2mb²y+b²（1-a²）=0
△=4a²b²（a²+m²b²-1）＞0（a＞1）
KAN=

-y1

a2-1 2 -my1

      KEN=

-y2

1-a2 2

KAN-KEN=

a2-1 2 (y1+y2)-my1y2

1-a2 2 ( a2-1 2 -my1)

∵

a2-1

2

(y1+y2)-my1y2=

a2-1

2

(-

2mb2

a2+m2b2

)-m

b2(1-a2)

a2+m2b2

=

(a2-1)(mb2-mb2)

a2+m2b2

=0
∴k_AN=K_EN∴A、N、E三點共線
同理可得B、N、D三點共線
∴AE與BD相交于定點N(

1+a2

2

，0)（14分）

點評：本題主要考查了圓錐曲線的性質的綜合應用，而定義的靈活應用是解決本題的關鍵直線與曲線的相交的一般思路是聯立方程組，通過方程的根與系數的關系進行求解