Question

已知函數f（x）=x⁴+ax²+b的圖象在點（1，f（1））處與直線y=-4x+2相切．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調區間．
（Ⅲ）求函數f（x）在區間[-m，m]（m＞0）上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把x=1代入切線方程求出f（1）=-2，然后把（1，-2）代入到f（x）中得到關于a與b的一個關系式；求出f'（x），根據切線方程得到斜率為-4，所以f'（1）=-4，代入導函數即可得到關于a的方程，求出a的值，代入到前面求的關系式中求出b即可；
（Ⅱ）把第一問求得的a與b代入到f（x）中，然后求出f'（x）=0時x的值，利用x的三個值分四個區間討論導函數的正負即可得到函數的單調區間；
（Ⅲ）根據第二問函數的增減性分區間分別求出函數的最大值和最小值即可．

解答：解：（Ⅰ）f（1）=-4×1+2=-2?1+a+b-2?a+b=-3，
f'（x）=4x³+2ax，f'（1）=-4?2a+4=-4
∴a=-4，b=1．
（Ⅱ）f（x）=x⁴-4x²+1?f'（x）=4x³-8x=4x（x²-2），f'（x）=0的根為0，±

2

．
在（-∞，-

2

）上，f'（x）＜0，函數f（x）單調遞減；在（-

2

，0）上，f'（x）＞0，函數f（x）單調遞增；
在（0，

2

）上，f'（x）＜0，函數f（x）單調遞減；在（

2

，+∞）上，f'（x）＞0，函數f（x）單調遞增；
故函數f（x）的單調遞增區間為（-

2

，0）、（

2

+∞）；單調遞減區間為（-∞，-

2

）、（0，

2

）．
（Ⅲ）f（-

2

）=f（

2

）=-3，f（0）=1，由f（x）=x⁴-4x²+1=1得，x=0，x=±2，
∴當0＜m＜

2

時，f（x）在[-m，m]上的最大值是1，最小值是f（m）=m⁴-4m²+1；
當

2

≤m≤2時，f（x）在[-m，m]上的最大值是1，最小值是f（

2

）=-3．
當m＞2時，f（x）在[-m，m]上的最大值是f（m）=m⁴-4m²+1，最小值是f（

2

）=-3．

點評：考查學生會利用導數研究曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導數研究函數的單調性以及利用函數的增減性求閉區間上函數的最值．