Question

（本小題滿分14分）已知函數，.
(Ⅰ)若，求函數的極值；
(Ⅱ)設函數，求函數的單調區間；
(Ⅲ)若在區間上不存在，使得成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

(Ⅰ)的極小值為 (Ⅱ)在上遞減，在上遞增
(Ⅲ)

試題分析：(Ⅰ)，
∴在上遞減，在上遞增，
∴的極小值為.                                                    ……4分
(Ⅱ)， ∴，
①當時，，∴在上遞增               
②當時，，
∴在上遞減，在上遞增.                                  ……8分
(Ⅲ)先解區間上存在一點，使得成立
在上有解當時，，
由(Ⅱ)知
①當時，在上遞增，∴， ∴，   ……10分
②當時，在上遞減，在上遞增，
（ⅰ）當時， 在上遞增 ∴，∴無解，
（ⅱ）當時， 在上遞減，
∴ ， ∴；
（ⅲ）當時， 在上遞減，在上遞增，
∴，
令，則，
∴在遞減， ∴，∴無解，
即無解                      
綜上可得：存在一點，使得成立，實數的取值范圍為：或.
所以不存在一點，使得成立，實數的取值范圍為.        ……14分
點評：導數是研究函數性質的重要工具，研究函數的極值、最值及單調區間時常常用到導數，而求參數的取值范圍時，常常需要轉化為求最值然后利用導數解決.