Question

曲線C是平面內與兩個定點F₁（-1，0）和F₂（1，0）的距離的積等于常數a²（a＞1）的點的軌跡．給出下列三個結論：
①曲線C過坐標原點；
②曲線C關于坐標原點對稱；
③若點P在曲線C上，則△F₁PF₂的面積不大于

1

2

a²．
其中，所有正確結論的序號是

 

．

Answer 1

分析：由題意曲線C是平面內與兩個定點F₁（-1，0）和F₂（1，0）的距離的積等于常數a²（a＞1），利用直接法，設動點坐標為（x，y），及可得到動點的軌跡方程，然后由方程特點即可加以判斷．

解答：解：對于①，由題意設動點坐標為（x，y），則利用題意及兩點間的距離公式的得：

(x+1)2+y2

•

(x-1)2+y2

=a2?[（x+1）²+y²]•[（x-1）²+y²]=a⁴（1）將原點代入驗證，此方程不過原點，所以①錯；
對于②，把方程中的x被-x代換，y被-y 代換，方程不變，故此曲線關于原點對稱．②正確；
對于③，由題意知點P在曲線C上，則△F₁PF₂的面積S△PF1F2=

1

2

×2×y，
由（1）式平方化簡的：y⁴+[（x+1）²+（x-1）²]y²+（x²-1）²-a⁴=0?y2=-x2-1+

4x2+a4

或y2=-x2-1-

4x2+a4

（舍）  
把三角形的面積式子平方得：S△PF1F22 =y2 對于y2=-x2-1+

4x2+a4

（2）
 令

4x2+a4

=t(t≥a2＞1)?x2=

t2-a4

4

代入（2）得y2=-

t2

4

+

a4

4

-1+t=-

1

4

(t-2)2+

a4

4

≤

a4

4

，
故可知S△PF1F2=

1

2

×2×y≤

1

2

a² 所以③正確．
故答案為：②③

點評：此題重點考查了利用直接法求出動點的軌跡方程，并化簡，利用方程判斷曲線的對稱性及利用解析式選擇換元法求出值域．