Question

已知圓C:.

(1)直線過點P(1,2)，且與圓C交于A、B兩點，若，求直線的方程；

(2)過圓C上一動點M作平行于y軸的直線m，設m與x軸的交點為N，若向量，求動點的軌跡方程.

(3) 若點R(1,0)，在（2）的條件下，求的最小值.

Answer 1

(1) 所求直線為3x-4y+5=0或x=1  (2) 點的軌跡方程是  () (3)

解析:

（1）①當直線垂直于軸時，則此時直線方程為，與圓的兩個交點坐標為

和，其距離為，滿足題意                        ………1分

②若直線不垂直于軸，設其方程為，即 ………2分

設圓心到此直線的距離為，則，得∴，，………4分

故所求直線方程為3x-4y+5=0   

綜上所述，所求直線為3x-4y+5=0或x=1                           ……………5分

(2)設點M的坐標為(x₀,y₀)，Q點坐標為(x,y)則N點坐標是(x₀, 0)

   ∵，∴  即，    ………7分

又∵，∴                     …………9分

由已知，直線m //oy軸，所以，,

∴點的軌跡方程是  ()                ………………10分

（3）設Q坐標為(x,y)，， ， ………………11分

又  ()可得：

.         ………………13分

         …………14分