Question

設為正實數,現有下列命題:
①若,則;
②若,則;
③若,則;
④若,則.
其中的真命題有____________.(寫出所有真命題的編號)

Answer 1

①④

試題分析：①若a²-b²=1，則a²-1=b²，即（a+1）（a-1）=b²，∵a+1＞a-1，∴a-1＜b，即a-b＜1，①正確；
②若，可取a=7，b=，則a-b＞1，∴②錯誤；
③若，則可取a=9，b=4，而|a-b|=5＞1，∴③錯誤；
④由|a³-b³|=1，
若a＞b，則a³-b³=1，即a³-1=b³，即（a-1）（a²+1+a）=b³，∵a²+1+a＞b²，∴a-1＜b，即a-b＜1；
若a＜b，則b³-a³=1，即b³-1=a³，即（b-1）（b²+1+b）=a³，∵b²+1+b＞a²，∴b-1＜a，即b-a＜1；
∴|a-b|＜1∴④正確；
故答案為①④
點評：中檔題，可通過舉反例的方法證明某些命題的錯誤性。要想說明命題正確，應給出嚴格的證明。