Question

已知函數．
（1）若f^-1（mx²+mx+1）的定義域為R，求實數m的取值范圍；
（2）當x∈[-1，1]時，求函數y=f²（x）-2af（x）+3的最小值g（a）．
（3）是否存在實數m＞n＞3，使得g（x）的定義域為[n，m]，值域為[n²，m²]，若存在，求出m、n的值；若不存在，則說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出的函數反函數，再代入求出f^-1（mx²+mx+1）的解析式；再把其定義域為R轉化為mx²+mx+1＞0恒成立，即可求出實數m的取值范圍；
（2）先求出函數y=f²（x）-2af（x）+3的表達式，再結合二次函數在閉區間上的最值求法即可求出g（a）的表達式；
（3）根據（2）的結論知m＞n＞3，對應g（x）=12-6x，在（3，+∞）上是減函數；求出其最大最小值于條件相結合即可求出m、n之間的關系，進而得到結論．
解答：解：（1）∵（x＞0），…（2分）
∴，
由題知，mx²+mx+1＞0恒成立，
∴1⁰ 當m=0時，1＞0滿足題意；…（3分）
2⁰ 當m≠0時，應有，
∴實數m的取值范圍為0≤m＜4．…（5分）
（2）∵x∈[-1，1]，∴，
y=f²（x）-2af（x）+3=，…（7分）
當時，；
當時，y_min=g（a）=3-a²；
當a＞3時，y_min=g（a）=12-6a．
∴．        
（3）∵m＞n＞3，∴g（x）=12-6x，在（3，+∞）上是減函數．
∵g（x）的定義域為[n，m]，值域為[n²，m²]，
∴，…（12分）
②-①得：6（m-n）=（m+n）（m-n），
∵m＞n＞3，∴m+n=6．但這與“m＞n＞3”矛盾．
∴滿足題意的m、n不存在．                 …（14分）
點評：本題考查轉化思想以及分類討論思想的應用，由解題過程可以看出，通過轉化把f^-1（mx²+mx+1）的定義域為R轉化為mx²+mx+1＞0恒成立是求出第一問的關鍵．