Question

19、已知命題p：關(guān)于x的不等式x²+（a-1）x+1≤0的解集為空集φ；命題q：函數(shù)y=（a-1）^x為增函數(shù)，若命題p∧q為假命題，p∨q為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：根據(jù)題意得命題p、q有且僅有一個(gè)為真命題，分別討論“p真q假”與“p假q真”即可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：命題p：關(guān)于x的不等式x²+（a-1）x+1≤0的解集為空集φ，
所以（a-1）²-4＜0，即a²-2a-3＜0，（2分）
所以-1＜a＜3，（3分）
則p為假命題時(shí)：a≤-1或a≥3；（4分）
由命題q：函數(shù)y=（a-1）^x為增函數(shù)，
所以a-1＞1，所以a＞2，（5分）
則q為假命題時(shí)：a≤2；（6分）
命題p∧q為假命題，p∨q為真命題，所以p、q中一真一假，（8分）
若p真q假，則-1＜a≤2，（9分）
若p假q真，則a≥3，（11分）
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為-1＜a≤2或a≥3．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題真假的判斷與應(yīng)用，屬于中檔題，解題時(shí)注意分類討論思想的應(yīng)用．