Question

（滿分16分）如圖：為保護河上古橋，規劃建一座新橋，同時設立一個圓形保護區，規劃要求，新橋與河岸垂直；保護區的邊界為圓心在線段上并與相切的圓，且古橋兩端和到該圓上任一點的距離均不少于80，經測量，點位于點正北方向60處，點位于點正東方向170處，（為河岸），.

（1）求新橋的長；
（2）當多長時，圓形保護區的面積最大？

Answer 1

（1）；（2）．

試題分析：本題是應用題，我們可用解析法來解決，為此以為原點，以向東，向北為坐標軸建立直角坐標系.（1）點坐標炎，，因此要求的長，就要求得點坐標，已知說明直線斜率為，這樣直線方程可立即寫出，又，故斜率也能得出，這樣方程已知，兩條直線的交點的坐標隨之而得；（2）實質就是圓半徑最大，即線段上哪個點到直線的距離最大，為此設，由，圓半徑是圓心到直線的距離，而求它的最大值，要考慮條件古橋兩端和到該圓上任一點的距離均不少于80，列出不等式組，可求得的范圍，進而求得最大值．當然本題如果用解三角形的知識也可以解決．
試題解析：

（1）如圖，以為軸建立直角坐標系，則，，由題意，直線方程為．又，故直線方程為，由，解得，即，所以；
（2）設，即，由（1）直線的一般方程為，圓的半徑為，由題意要求，由于，因此，∴∴，所以當時，取得最大值，此時圓面積最大．
【考點】解析幾何的應用，直線方程，直線交點坐標，兩點間的距離，點到直線的距離，直線與圓的位置關系.