Question

（本小題共12分）
如圖，在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，點D是棱AB的中點，BC=1，AA₁=
（1）求證：BC₁//平面A₁DC；
（2）求二面角D—A₁C—A的大小

Answer 1

（1）略
（2）設二面角D—A₁C—A的大小為

（I）證明：連結AC₁交A₁C于點G，連結DG，
在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，四邊形ACC₁A₁是平行四邊形，

…………2分

…………4分
（II）解法一： 過點D作交AC于E，過點D作交A₁C于F，連結EF。

是二面角D—A₁C—A的平面角，…………8分
在直角三角形ADC中，
同理可求：
…………12分
解法二：過點A作交BC于O，過點O作交B₁C₁于E。
因為平面
所以，分別以CB、OE、OA所在的直線為建立空間直角坐標系，
如圖所示，因為是等邊三角形，所以O為BC的中點，則 …6分 設平面A₁DC的法向量為

則


取……8分
可求平面ACA₁的一個法向量為…………10分
設二面角D—A₁C—A的大小為
…………12分