Question

若正三棱錐底面邊長為4，體積為1，則側面和底面所成二面角的大小等于

 

．（結果用反三角函數值表示）

Answer 1

分析：二面角的度量關鍵在于找出它的平面角，構造平面角常用的方法就是三垂線法．取BC的中點D，連接SD、AD，則SD⊥BC，AD⊥BC，所以∠SDA為側面與底面所成二面角的平面角．在平面SAD中，作SO⊥AD與AD交于O，則SO為棱錐的高，大小可由體積求得．

解答：解：取BC的中點D，連接SD、AD，則SD⊥BC，AD⊥BC．
∴∠SDA為側面與底面所成二面角的平面角，設為α．
在平面SAD中，作SO⊥AD與AD交于O，則SO為棱錐的高．
AO=2DO，∴OD=

2

3

3

．
又V_S-ABC=

1

3

•

1

2

AB•BC•sin60°•h=1，
∴h=

3

4

．∴tanα=

SO

DO

=

3 4

2 3 3

=

3

8

．
∴α=arctan

3

8

．

點評：本小題主要考查空間線面關系、二面角的度量等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．