Question

（.(本小題滿分12分)
如圖,四棱錐S-ABCD的底面是矩形，ABa，AD2，SA1，且SA⊥底面ABCD，若

邊BC上存在異于B，C的一點P，使得．
（1）求a的最大值；
（2）當a取最大值時，求平面SCD的一個單位法向量
及點P到平面SCD的距離．

Answer 1

解：建立如圖所示的空間直角坐標系,則各點坐標分別為:
A(0,0,0)，B(a,0,0)，C(a,2,0)，D(0,2,0)，S(0,0,1)，設(shè)P(a,x,0) (0<x<2)
(1) ∵………2分
∴由得: ×=0,
即：     ………4分
∴當且僅當x=1時，a有最大值為1．
此時P為BC中點．               ………6分
(2) 設(shè)是平面SCD的一個法向量， 由(1)知：

∴由得
∴平面SCD的一個單位法向量
又在方向上的投影為
∴點P到平面SCD的距離為．                          ………12分

解析