Question

【題目】已知數列{an}滿足條件（n﹣1）an+1=（n+1）（an﹣1），且a2=6，
（1）計算a1、a3、a4 ， 請猜測數列{an}的通項公式并用數學歸納法證明；
（2）設bn=an+n（n∈N*），求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當n=1時，a1=1，且a2=6

當n=2時，a3=3（a2﹣1）=15，

當n=3時，2a4=4（a3﹣1），∴a4=28，

猜測

下面用數學歸納法證明：

ⅰ當n=1，2，3，4時，等式 已成立

ⅱ假設當n=k時，

則由（k﹣1）ak+1=（k+1）（ak﹣1），有： =2k2+3k+1=2（k+1）2﹣（k+1）

即n=k+1時，等式也成立

綜上， 成立

（2）解：bn=an+n=2n2

∴bn﹣2=2（n﹣1）（n+1）

∴ = （ ）

∴ =

= =

【解析】（1）計算前幾項，猜想數列的通項，再利用數學歸納法進行證明；（2）確定數列的通項，利用裂項法求和，即可求得結論．
【考點精析】利用數學歸納法的定義對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知數學歸納法是證明關于正整數n的命題的一種方法．