Question

已知集合S_n={X|X=（x₁，x₂，…，x_n），x₁∈{0，1}，i=1，2，…，n}（n≥2）對于A=（a₁，a₂，…a_n，），B=（b₁，b₂，…b_n，）∈S_n，定義A與B的差為A-B=（|a₁-b₁|，|a₂-b₂|，…|a_n-b_n|）；
A與B之間的距離為d(A，B)=

i-1

 |a1-b1|
（Ⅰ）當n=5時，設A=（0，1，0，0，1），B=（1，1，1，0，0），求d（A，B）；
（Ⅱ）證明：?A，B，C∈S_n，有A-B∈S_n，且d（A-C，B-C）=d（A，B）；
（Ⅲ）證明：?A，B，C∈S_n，d（A，B），d（A，C），d（B，C）三個數中至少有一個是偶數．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意中的定義和集合A、B求出A-B，再由A與B之間的距離公式d(A，B)=

i-1

 |a1-b1|，求出d（A，B）；
（Ⅱ）根據題意設出集合A、B、C，則a_i，b_i，c_i∈{0，1}（i=1，2，n），故得A-B∈S_n，再分c_i=0和c_i=1兩種情況求出d（A-C，B-C）和d（A，B）；
（Ⅲ）根據題意設出集合A、B、C，再根據（Ⅱ）的結論，表示出d（A，B），d（A，C），d（B，C），再根據集合的元素為“0，1”，確定所求三個數中至少有一個是偶數．

解答：解：（Ⅰ）由題意得，A-B=（|0-1|，|1-1|，|0-1|，|0-0|，|1-0|）=（1，0，1，0，1），
d（A，B）=|0-1|+|1-1|+|0-1|+|0-0|+|1-0|=3
（Ⅱ）證明：設A=（a₁，a₂，a_n），B=（b₁，b₂，b_n），C=（c₁，c₂，c_n）∈S_n
因為a₁，b₁∈{0，1}，所以|a₁-b₁|∈{0，1}（i=1，2，n）
從而A-B=（|a₁-b₁|，|a₂-b₂|，|a_n-b_n|）∈S_n
由題意知a_i，b_i，c_i∈{0，1}（i=1，2，n）
當c_i=0時，||a_i-c_i|-|b_i-c_i||=|a_i-b_i|
當c_i=1時，||a_i-c_i|-|b_i-c_i||=|（1-a_i）-（1-b_i）|=|a_i-b_i|
所以d(A-C，B-C)=

n

i=1

|ai-bi|=d(A，B)
（Ⅲ）證明：設A=（a₁，a₂，a_n），B=（b₁，b₂，b_n），C=（c₁，c₂，c_n）∈S_n，
d（A，B）=k，d（A，C）=l，d（B，C）=h
記0=（0，0，0）∈S_n，
由（Ⅱ）可知

d(A，B)=d(A-A，B-A)=d(0，B-A)=k d(A，C)=d(A-A，C-A)=d(0，C-A)=l d(B，C)=d(B-A，C-A)=h

所以|b_i-a_i|（i=1，2，n）中1的個數為k，|c_i-a_i|（i=1，2，n）中1的個數為l
設t是使|b_i-a_i|=|c_i-a_i|=1成立的i的個數．則h=l+k-2t
由此可知，k，l，h三個數不可能都是奇數
即d（A，B），d（A，C），d（B，C）三個數中至少有一個是偶數．

點評：本題考查了利用新定義和集合的運算性質綜合應用的能力，屬于高難度題，需要認真審題，抓住新定義的本質．