Question

已知傾斜角為45°的直線l過點A(1,-2)和點B,B在第一象限,且|AB|=32.

(1)求點B的坐標;

(2)若直線l與雙曲線C:-y²=1(a＞0)相交于E、F兩點,且線段EF的中點坐標為(4,1),求a的值;

(3)對于平面上任一點P,當點Q在線段AB上運動時,稱|PQ|的最小值為P與線段AB的距離.已知點P在x軸上運動,寫出點P(t,0)到線段AB的距離h關于t的函數關系式.

Answer 1

解:(1)直線AB的方程為y=x-3.

設B(x,y),由

由x＞0,y＞0得

∴點B的坐標為(4,1).

(2)由方程組得(-1)x²+6x-10=0.

設兩個交點分別為E(x₁,y₁)、F(x₂,y₂),

則x₁+x₂=-.

又∵EF的中點坐標為(4,1),則=4.

∴=4,即得a=2.

(3)設線段AB上任一點Q的坐標為(x,x-3)(1≤x≤4).

則|PQ|=.

令f(x)==(1≤x≤4).

①當1≤≤4,即-1≤t≤5時,

|PQ|_min=f()=;

②當＞4,即t＞5時,f(x)在［1,4］上單調遞減,

∴|PQ|_min=f(4)=;

③當＜1,即t＜-1時,f(x)在［1,4］上單調遞增,

∴|PQ|_min=f(1)=.

綜上所述,

h(t)=