Question

（2012•莆田模擬）如圖，邊長為3（百米）的正方形ABCD是一個觀光區的平面示意圖，中間葉形陰影部分MN是一片人工湖，它的左下方邊緣曲線段MN為函數y=

2

x

(1≤x≤2)的圖象．為了便于游客觀光，擬在觀光區內鋪設一條穿越該區域的直路l（寬度不計），其與人工湖左下方曲線段MN相切（切點記為P），并把該區域分為兩部分．現直路l左下部分區域規劃為花圃，記點P到邊AD距離為t，f（t）表示花圃的面積．
（1）求直路l所在的直線與兩坐標軸的交點坐標；
（2）求面積f（t）的解析式；
（3）請你制定一個鋪設方案，使得花圃面積最大，并求出最大值．

Answer 1

分析：（1）求導函數，確定過點P的切線方程，即可求得直線與兩坐標軸的交點坐標；
（2）分類討論：①當

2t≤3 4 t ≤3 1≤t≤2

，即

4

3

≤t≤

3

2

時，切線左下方的區域為一直角三角形；②當

2t＞3 4 t ＞3 1≤t≤2

，即

3

2

＜t≤2時，切線左下方的區域為一直角梯形；③當

2t≤3 4 t ＞3 1≤t≤2

，即1≤t＜

4

3

時，切線左下方的區域為一直角梯形，從而可得面積f（t）的解析式；
（3）求出分段函數的最值，即可得到花圃面積最大值．

解答：解：（1）求導函數可得y′=-

2

x2

∴過點P的切線方程為y-

2

t

=-

2

t2

(x-t)，即y=-

2

t2

x+

4

t

令x=0可得y=

4

t

，令y=0可得x=2t
∴切線與x軸交點坐標為（2t，0），與y軸交點坐標為（0，

4

t

）
（2）①當

2t≤3 4 t ≤3 1≤t≤2

，即

4

3

≤t≤

3

2

時，切線左下方的區域為一直角三角形
∴f（t）=

1

2

×2t×

4

t

=4；
②當

2t＞3 4 t ＞3 1≤t≤2

，即

3

2

＜t≤2時，切線左下方的區域為一直角梯形
∴f（t）=

1

2

(

4

t

+

4t-6

t2

)×3=

12t-9

t2

；
③當

2t≤3 4 t ＞3 1≤t≤2

，即1≤t＜

4

3

時，切線左下方的區域為一直角梯形
∴f（t）=

1

2

(

4t-3t2

2

+2t)×3=6t-

9

4

t2；
綜上，f（t）=

6t- 9 4 t2，1≤t＜ 4 3 4， 4 3 ≤t≤ 3 2 12t-9 t2 ， 3 2 ＜t≤2

；
（3）當1≤t＜

4

3

時，f（t）=6t-

9

4

t2=-

9

4

(t-

4

3

)2+4＜4；
當

3

2

＜t≤2時，f（t）=

12t-9

t2

=-9(

1

t

-

2

3

)2+4＜4；
當

4

3

≤t≤

3

2

時，f（t）=4是常數；
綜上，當

4

3

≤t≤

3

2

時，花圃面積最大，最大值為4．

點評：本題考查導數的幾何意義，考查函數解析式的確定，考查分段函數的最值，正確分類是關鍵．