Question

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=

3

，在三角形內挖去一個半圓（圓心O在邊BC上，半圓與AC，AB分別相切于點C，M，與BC交于點N），將△ABC繞直線BC旋轉一周得到一個旋轉體，則圖中陰影部分繞直線BC旋轉一周所得旋轉體的體積為

5 3 π

27

．

Answer 1

分析：△ABC中解直角三角形可得AC=1，AB=2AC=2．連結OM，可得OM⊥AB，利用OB=2OM結合題意算出半圓的半徑為r等于

3

3

，再利用圓錐的體積公式和球的體積公式加以計算，即可得到所求旋轉體的體積．

解答：解：連結OM，則OM⊥AB
∵∠ABC=30°，BC=

3

，
∴AC=BCtan30°=1，AB=2AC=2
設OM=r，則OB=2r
∵OB=

3

-r，∴2r=

3

-r，解之得r=

3

3

因此所得旋轉體的體積為
V=V_圓錐-V_球=

1

3

π×AC²×BC-

4π

3

r3=

1

3

π×1²×

3

-

4π

3

×(

3

3

)3=

5 3 π

27

故答案為：

5 3 π

27

點評：本題給出特殊圖形，求陰影部分旋轉所得幾何體的體積．著重考查了解直角三角形、圓的切線性質和圓錐、球的體積公式等知識，屬于中檔題．