已知中心在原點的雙曲線
的一個焦點是
，一條漸近線的方程是
。
（1）求雙曲線的方程；
（2）若以
為斜率的直線
與雙曲線相交于兩個不同的點
，且線段
的垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為
，求
的取值范圍。
（1）
；(2)的取值范圍是
解析試題分析：（1）本題較易，注意利用已知條件建立方程組
解得
，
即得所求.
（2）從確定三角形的面積表達式入手，建立的不等式
.通過設直線的方程為
，建立方程組
并整理，建立
的不等關系；
由根與系數的關系可知線段的中點坐標
滿足
，
，
得到線段的垂直平分線的方程為
，
求得此直線與
軸，
軸的交點坐標分別為
，
，
從而利用
，整理得
，
，
將上式代入的不等關系式，得到的不等式.
試題解析：（1）設雙曲線的方程為
，
由題設得解得，
所以雙曲線方程為.
（2）設直線的方程為，點
的坐標滿足方程組，整理得
，此方程有兩個不等實根，
于是
且
，
整理得
......③
由根與系數的關系可知線段的中點坐標滿足，，
從而線段的垂直平分線的方程為
，
此直線與軸，軸的交點坐標分別為，，
由題設可得，整理得，，
將上式代入③式得
，
整理得
，，解得
或
，
所以的取值范圍是
考點：雙曲線的標準方程、幾何性質，直線與圓錐曲線的位置關系，三角形面積公式.
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陽光同學一線名師全優好卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C的中心在原點，焦點在
軸上，焦距為2，離心率為
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線
經過點
（0,1），且與橢圓C交于
兩點，若
，求直線的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的離心率為
，橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構成的三角形的面積為
．
(Ⅰ）求橢圓
的方程；
(Ⅱ）已知動直線
與橢圓相交于
、
兩點． ①若線段
中點的橫坐標為
，求斜率
的值；②若點
，求證：
為定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖示：已知拋物線
的焦點為
，過點作直線
交拋物線
于
、
兩點，經過、兩點分別作拋物線的切線
、
，切線與相交于點
.
（1）當點
在第二象限，且到準線距離為
時，求
；
（2）證明：
.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設橢圓
：
的左、右焦點分別是
、
，下頂點為
，線段
的中點為
（
為坐標原點），如圖.若拋物線
：
與
軸的交點為，且經過、兩點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設
，
為拋物線上的一動點，過點作拋物線的切線交橢圓于
、
兩點，求
面積的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在平面直角坐標系
中，已知圓
和圓
.
（1）若直線
過點
，且被圓
截得的弦長為
，求直線的方程；
（2）設
為平面上的點，滿足：存在過點的無窮多對互相垂直的直線
和
，它們分別與圓和圓
相交，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點的坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設雙曲線
以橢圓
的兩個焦點為焦點,且雙曲線的一條漸近線是
，
(1)求雙曲線的方程；
(2)若直線
與雙曲線交于不同兩點
,且都在以
為圓心的圓上,求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓的一個頂點為
，焦點在
軸上，若右焦點到直線
的距離為3.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設直線
與橢圓相交于不同的兩點
、
，當
時，求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的兩個焦點
和上下兩個頂點
是一個邊長為2且∠F1B1F2為
的菱形的四個頂點.
（1）求橢圓
的方程；
（2）過右焦點F2 ，斜率為
（
）的直線
與橢圓相交于
兩點，A為橢圓的右頂點，直線
、
分別交直線
于點
、
，線段
的中點為
，記直線
的斜率為
.求證:
為定值.
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